November 12, 2020
Squaring of numbers ending with ' 5 '
Hi friends and my dear students! In this post, I have covered Squaring of numbers ending with ' 5 ' ! . After Reading Please do share it with your friends. Learn maths for All classes here
Squaring is multiplying a number by itself . Let us have a look at how to square numbers ending in 5
( Q ) Find the square of 65
65
x 65
---------
42 25
•
In 65 , the number apart from 5 is 6 .
• After 6 comes 7.
So , we multiply 6 by 7 and write down the answer 42 .
• Next , we multiply
the last digits , viz . ( 5 x 5 ) and write down 25 to the right of 42 and
complete our multiplication . Our answer is 4225 .
( Q ) Find the square of 75
75
x 73
--------
56 25
Apart from 5 the number is 7. The number that comes
after 7 is 8. We multiply 7 with 8 and write the answer 56. Next , we multiply
the last digits ( 5 x 5 ) and put 25 beside it and get our answer as 5625. Thus
, ( 75 x 75 ) is 5625 .
( Q ) Find the square of 95
Apart from 5 the digit is
9. After 9 comes 10. When 9 is multiplied by 10 the answer is 90. Finally , we
vertically multiply the right hand most digits ( 5 x 5 ) and write the answer
25 beside it . Thus , the square of 95 is 9025
(Q
) Find the square of 105
The previous examples that we solved were of two - digits each . But the same technique can be extended to numbers of any length . In the current example , we will try to determine the square of a three - digit number - 105
. Apart from 5 the digits are 1 and 0 , that is , 10. After 10
comes 11. We multiply 10 with 11 and write the answer as 110. We suffix 25 to
it and write the final answer as 11025. The square of 105 is 11025
So you can see how
simple it is to square numbers ending with a five ! In fact , you can mentally
calculate the square of a number ending with a 5. Just multiply the non - five
numbers with the next number and then multiply the last digits ( 5 x 5 ) and add 25
after it .
Also Check
Vedic maths trick : Squaring of numbers between 50 and 60
Free Vedic maths trick : How to predict a person's Date of Birth
A few more examples are given below :
152 = 225
252
= 625
35
= 1225
45
2= 2025
552
= 3025
852
= 7225
1152
= 13225 ( 11 x 12 = 132 )
2052 = 42025 ( 20 x 21 = 420 )
Thus we see that the technique holds true in all the examples .
The technique of squaring numbers ending with 5 is a very popular
technique . Some educational boards have included it in their curriculum . In
Vedic Mathematics , there is an extension to this principle which is not known
to many people . This formula of Vedic Mathematics tells us that the above rule
is applicable not only to the squaring of numbers ending in 5 but also to the
multiplication of numbers whose last digits add to 10 and the remaining digits
are the same .
Thus , there are two conditions necessary for this multiplication . The first condition is that the last digits should add to 10 and the second condition is that the remaining digits should be the same .
Let us have a look at a few examples :
107 x 103 =? 91x99 =
? 51 x 59= ?
In the above examples , it can be observed that the last digits in
each case add up to 10 and the remaining digits are the same . Let us take the
first example ...
Here the last digits are 6 and 4 which add up
to 10. Secondly , the remaining digits are the same , viz . ' 6 ' and ' 6 ' .
Thus , we can find the square of this number by the same principle which we
used in 66 x64
squaring numbers ending with a 5 .
• First , multiply
the number 6 by the number that follows it . After 6 comes 7. Thus , ( 6 x 7 )
is 42 .
•
Next , we multiply the right - hand most digits ( 6 x 4 ) and write the
answer as 24. The complete answer is 4224 .
107
x 103
---------------
110 21
In the second example , we have to multiply 107 by 103. In this
case the last digits 7 and 3 add to 10 and the remaining digits are the same .
We will obtain the product using the same procedure .
•
First , we will multiply the number 10 by the number that follows it ,
11 , and write the answer as 110
• Next , we multiply the right - hand
most digits , viz . 7 and 3 , and write the answer as 21. The complete answer
is 11021
In the third example , we have to multiply 91 by 99
91
x
99
--------
90
09
• We multiply 9 by
the number that follows it , 10 , and write the answer as 90 .
• We multiply the
numbers ( 1 * 9 ) and write the answer as 09. The final answer is 9009 .
( Note : The right hand
part should always be filled - in with a two - digit number . Thus , we have to
convert the number 9 to 09. )
In the last example , we have to multiply 51 by 59
51
X 59
-----------
3009
•
We multiply 5 with the next number 6 and write the answer as 30 .
• Next , we multiply
( 1 x 9 ) and write the answer as 09. The final answer is 3009
This formula of Vedic Mathematics works for any such numbers whose last digits add up to ten and the remaining digits are the same . The same formula works while squaring numbers ending with 5 because when you square two numbers ending with 5 , then the right hand most digits add to 10 ( 5 plus 5 ) and the remaining digits are the same ( since we are squaring them ) .
Let us look at a few other examples where the right - hand most
digits add to 10 and the remaining digits are the same .
72
x 78 = 5616
84
x 86= 7224
23
x 27= 621
89
x 81 = 7209
106
x 104 = 11024
1003
x 1007 = 1010021
This was the first specific technique that we studied . The next
technique that we will discuss is also related to squaring . It is used to
square numbers that lie between 50 and 60
*5తో ముగిసే సంఖ్యల యొక్క స్క్వారింగ్ :
ఒక సంఖ్యను తనద్వారా రెట్టింపు చేయడం అనేది. 5తో ముగిసే సంఖ్యలను ఎలా చతురస్రం చేయాలో మనం ఇప్పుడు చూద్దాం.
65 యొక్క చతురస్రాన్ని (వర్గామును) కనుగొనండి.
65
x
65
---------
42 25
• 65లో , 5 కాకుండా సంఖ్య 6 .
• 6 తరువాత 7 వస్తుంది. అంటే, మనం 6ని 7తో గుణించి, సమాధానం 42 ని రాయండి.తరువాత, మనం చివరి అంకెలను గుణిస్తాం, అవి.( 5 x 5 ) మరియు 42 యొక్క కుడివైపున 25 రాయండి మరియు మన గుణకారాన్ని పూర్తి చేయండి. మా సమాధానం 4225 .
75 యొక్క చతురస్రాన్ని(వర్గాము) కనుగొనండి.
x 73
--------
56 25
5 కాకుండా 7. 7 తరువాత వచ్చే సంఖ్య 8. మనం 7ని 8తో గుణించి, 56 వ సమాధానం రాయండి. తరువాత, మనం చివరి అంకెలను గుణిస్తాం( 5 * 5) మరియు దాని పక్కన 25 ఉంచి, 5625 వలే మా సమాధానం పొందండి. అంటే , ( 75 x 75 ) 5625.
95 యొక్క చతురస్రాన్ని(వర్గాము) కనుగొనండి.
5 కాకుండా అంకె 9. 9 తరువాత 10 వస్తుంది. 9ని 10తో గుణించినప్పుడు సమాధానం 90. చివరగా, మనం కుడిచేతిలో అత్యధిక అంకెలను నిట్టనిలువుగా గుణించి, దాని పక్కన 25 అనే సమాధానాన్ని రాయండి. అంటే, 95 యొక్క చతురస్రం 9025.
Q ) 105 యొక్క చతురస్రాన్ని(వర్గాము) కనుగొనండి
మనం పరిష్కరించిన గత ఉదాహరణలు ప్రతి దానికి రెండు - అంకెలు. అయితే ఇదే పద్ధతిని ఏ పొడవుకు చెందిన సంఖ్యలకు అయినా పొడిగించవచ్చు. ప్రస్తుత ఉదాహరణలో, మనం మూడు అంకెల సంఖ్య - 105 యొక్క చతురస్రాన్ని తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాం.
. 5 అంకెలు కాకుండా 1 మరియు 0, అంటే 10. 10 తరువాత 11 వస్తుంది. 10ని 11తో గుణించి, సమాధానాన్ని 110గా రాయండి. 25 కు ప్రత్యయం మరియు తుది సమాధానాన్ని 11025 గా రాయండి. 105 యొక్క చతురస్రం 11025
అంటే ఒక ఐదు తో ముగిసే సంఖ్యలను చతురస్రం చేయడం ఎంత సులభమని మీరు చూడవచ్చు ! నిజానికి, మీరు ఒక 5తో ముగిసే ఒక సంఖ్య యొక్క చతురస్రాన్ని మానసికంగా లెక్కించవచ్చు. తరువాత సంఖ్యతో ఐదు సంఖ్యలను గుణించి, తరువాత చివరి అంకెలను గుణించి , (5 x 5) మరియు దాని తరువాత 25 ని జోడించండి.
మరికొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:
152
= 225
252
= 625
35
= 1225
45
2= 2025
552
= 3025
852
= 7225
1152
= 13225 ( 11 x 12 = 132 )
2052 = 42025 ( 20 x 21 = 420 )
ఈ విధంగా అన్ని ఉదాహరణలలో ఈ పద్ధతి సత్యమని మనం చూస్తాం.5తో ముగిసే సంఖ్యలను స్క్వార్డింగ్ చేసే టెక్నిక్ చాలా ప్రాచుర్యం పొందిన టెక్నిక్. కొన్ని విద్యా బోర్డులు దీనిని తమ పాఠ్యప్రణాళికలో చేర్చాయి. వైదిక గణితంలో, ఈ సూత్రానికి పొడిగింపు ఉంది, ఇది చాలామందికి తెలియదు. వైదిక గణిత సూత్రం ప్రకారం పై నియమం 5తో ముగిసే సంఖ్యల యొక్క స్క్వారింగ్ కు మాత్రమే కాకుండా, చివరి అంకెలు 10కి జోడించబడ్డ సంఖ్యల యొక్క గుణకారానికి కూడా వర్తిస్తుంది మరియు మిగిలిన అంకెలు ఒకేవిధంగా ఉంటాయని తెలియజేస్తుంది.
అందువలన,
ఈ గుణకారానికి
రెండు షరతులు
అవసరం. మొదటి
షరతు ఏమిటంటే
చివరి అంకెలు
10కి జోడించాలి
మరియు మిగిలిన
అంకెలు ఒకేవిధంగా
ఉండాలనేది రెండో
కండిషన్.
కొన్ని ఉదాహరణలను మనం ఇప్పుడు చూద్దాం.
107 x 103 =?
91 x9 9 = ? 51 x 59= ?
పై
ఉదాహరణల్లో, ప్రతి
సందర్భంలోని చివరి
అంకెలు 10 వరకు
జోడించబడి, మిగిలిన
అంకెలు ఒకేవిధంగా
ఉండటాన్ని గమనించవచ్చు.
మొదటి ఉదాహరణ
చూద్దాం ...
ఇక్కడ
చివరి అంకెలు
6 మరియు 4, ఇవి
10 వరకు జోడించబడతాయి.
రెండోది, మిగిలిన
అంకెలు ఒకేవిధంగా
ఉంటాయి. ' 6 ' మరియు
' 6 ' . 66 x64 లో మనం
ఉపయోగించిన అదే
సూత్రం ద్వారా
ఈ సంఖ్య
యొక్క చతురస్రాన్ని
మనం కనుగొనవచ్చు.
a 5తో
ముగిసే సంఖ్యలు
.
తరువాత వచ్చే
సంఖ్యతో 6వ
సంఖ్యను గుణించండి.
6 తరువాత 7 వస్తుంది.
అంటే , ( 6 x 7 ) 42.
తరువాత, మనం
కుడిచేతి వైపు
అంకెలను గుణిస్తాం
మరియు 6 x 4 అంకెలను
24గా రాయండి.
పూర్తి సమాధానం
4224 .
107
x 103
---------------
110 21
రెండో ఉదాహరణలో, మనం 107ని 103తో గుణించాల్సి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో చివరి అంకెలు 7 మరియు 3 లను 10కు జోడించండి మరియు మిగిలిన అంకెలు ఒకేవిధంగా ఉంటాయి. అదే ప్రక్రియను ఉపయోగించి మనం ప్రొడక్ట్ ని పొందుతాం.
• మొదట, 10 అనే సంఖ్యను, దాని తరువాత వచ్చే సంఖ్యతో గుణించి, 11, మరియు సమాధానాన్ని 110గా రాయండి.తరువాత , మనం కుడిచేతివైపు అత్యధిక అంకెలను గుణిస్తాం, అవి. 7 మరియు 3 మరియు సమాధానం 21 గా రాయండి. పూర్తి సమాధానం 11021
మూడో
ఉదాహరణలో 91ని
99తో గుణించాల్సి
ఉంటుంది.
91
x 99
--------
90 09
10, తరువాత
వచ్చే సంఖ్యతో
మనం 9ని
గుణిస్తాం మరియు
సమాధానాన్ని 90గా
రాయండి.
మనం
1X 9 అనే సంఖ్యలను
గుణిస్తాం మరియు
సమాధానాన్ని 09 గా
రాయండి. తుది
సమాధానం 9009 .
గమనిక: కుడిచేతి భాగాన్ని ఎల్లప్పుడూ రెండు - అంకెల సంఖ్యతో నింపాలి. అందువల్ల, మనం 9 అనే నెంబరును 09కు మార్చాల్సి ఉంటుంది. )
చివరి ఉదాహరణలో, మనం 51ని 59తో గుణించాల్సి ఉంటుంది.
51
x 59
-----------
3009
మనం 5ని తరువాత సంఖ్య 6తో గుణించి, సమాధానాన్ని 30గా రాయండి.
తరువాత , మనం 1 x 9ని గుణించి, సమాధానాన్ని 09గా రాయండి. తుది సమాధానం 3009
వైదిక గణిత సూత్రం అటువంటి సంఖ్యలకు పనిచేస్తుంది, దీని యొక్క చివరి అంకెలు పది వరకు జోడించబడతాయి మరియు మిగిలిన అంకెలు ఒకేవిధంగా ఉంటాయి. 5తో ముగిసే సంఖ్యలను స్క్వారింగ్ చేసేటప్పుడు అదే సూత్రం పనిచేస్తుంది, ఎందుకంటే మీరు రెండు అంకెలను 5తో ముగిస్తే, కుడి చేతి అంకెలు 10 (5 x 5)కు జోడించబడతాయి మరియు మిగిలిన అంకెలు కూడా ఒకేవిధంగా ఉంటాయి( మనం వాటిని స్క్వాపింగ్ చేస్తున్నాం కనుక)
కుడి - చేతి అంకెలు 10మరియు మిగిలిన అంకెలు ఒకేవిధంగా ఉండే కొన్ని ఉదాహరణలను మనం ఇప్పుడు చూద్దాం.
72 x 78 =5616
84 x 86 = 7224
23 x 27 = 621
89 x 81 = 7209
106 x 104= 11024
1003 x 1007 = 1010021
ఇది మేము అధ్యయనం చేసిన మొదటి నిర్దిష్ట టెక్నిక్ . మనం చర్చించబోయే తదుపరి టెక్నిక్ కూడా స్క్వరింగ్ కు సంబంధించినది. 50 నుంచి 60 మధ్య ఉండే సంఖ్యలను చతురస్రం చేయడానికి దీనిని ఉపయోగిస్తారు.
